Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Bom, o pulo do gato dessa integral é você enxergar aquele termo ali dentro do com olhos diferentes. Vê se ele não parece muito com um produto notável do tipo :
Depois de perceber isso, você reescreve a integral que você vai visualizar uma substituição espertinha que pode ser feita ali:
Passo 2
Repara que eu tenho dentro do e que eu tenho no denominador da função. Repara também que a derivada de é igual a ?
Então porque não chamar de ?
Não está parecendo que vai sobrar nenhum termo em , não é mesmo?
Fazendo a substituição:
Fazendo a substituição, ficamos com a seguinte integral indefinida (relaxa, que eu não esqueci os limites de integração, eu só vou deixar para escrevê-los depois para facilitar):
Usando as propriedades de logaritmo, podemos descer aquele que tá ali no expoente, né?
Passo 3
E agora? De cara, ainda não sabemos resolver essa integral, mas vamos lembrar que a derivada de é ?
Então por que não aplicar uma nova substituição?
Essa integral é imediata: integral de polinômio!
Repare que eu não coloquei a constante porque eu vou calcular a integral definida. A integral indefinida foi apenas uma ferramenta para eu calcular a integral definida. Mas ela não é a resposta final. Por isso não me preocupei com a constante.
Antes de usar o Teorema Fundamental do Cálculo, eu tenho que voltar para a variável original, que era . Como eu fiz duas substituições seguidas, primeiro eu volto para e depois para .
Passo 4
Voltando de para (lembrando que .
Voltando agora de para (lembrando que ):
Passo 5
Agora que tenho a integral indefinida, posso calcular a definida (pronto, aqui eu volto com os limites de integração):
Talvez você não lembre, mas .
Passo 6
Então pessoal, a gente já resolveu a questão. Mas existe uma segunda forma de calcular essa integral. Como é o primeiro exercício de substituição com integral definida que estamos resolvendo, vou fazer dos dois jeitos para te provar que tanto faz!
Nessa forma, você vai recalcular os limites de integração em função de .
Fazendo a substituição:
Então, inicialmente os limites são:
Para recalcular os limites, basta substituir o , na expressão de
Aí fica assim,
Passo 7
Passo 8
Fazendo a nova substituição:
Troco novamente os limites de integração para a nova variável:
Observe que nessa forma de resolver, como os limites de integração já estão trocados, eu não preciso voltar para , posso resolver direto:
A resposta deu igual, como era de se esperar!! Mais um indício de que fizemos tudo certinho!