1.8. Calcule

∫ s e c x d x

Dica: use o método mágico de multiplicar e dividir o integrando por s e c x + t a n x e depois use substituição.

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos obter a integral de f x = s e c x e pra isso, o enunciado nos disse que podemos multiplicar e dividir o integrando por sec ⁡ x + t g x .

E aí, será que essa dica vai no ajudar mesmo? 👀

Já adianto que a técnica que vamos usar é dada por

∫ f ' x f x d x = ln ⁡ f x + C

Apesar desse spoiler, não iriamos conseguir desenvolver uma simplificação trigonométrica na função de integração, pois a simplificação está na integral.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

A integral é dada por

∫ s e c x d x

Multiplicando e dividindo a função de integração por t g x + sec ⁡ x , temos

∫ s e c x · t g x + sec ⁡ x t g x + sec ⁡ x d x

∫ t g x s e c x + sec 2 ⁡ x t g x + sec ⁡ x d x

Como na simplificação que vimos no passo 1, temos que mostrar que o numerador é a derivada do denominador, ou seja

t g x s e c x + sec 2 ⁡ x = d t g x + sec ⁡ x d x

t g x s e c x + sec 2 ⁡ x = d t g x d x + d sec ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de t g x e de sec ⁡ x são dadas por

d t g x d x = s e c 2 x

d sec ⁡ x d x = t g x s e c x

Portanto

t g x s e c x + sec 2 ⁡ x = t g x s e c x + sec 2 ⁡ x

E como

∫ f ' x f x d x = ln ⁡ f x + C

A função é f x = t g x + sec ⁡ x , logo

∫ t g x s e c x + sec 2 ⁡ x t g x + sec ⁡ x d x = ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + C

∫ s e c x d x = ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + C

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ s e c x d x = ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + C

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