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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Listas de Integrais – Questão 5.5

Calcule

∫ A a x + b m d x ( i n i c i a l m e n t e   e s c o l h a   a l g u n s   v a l o r e s   d e   A , a ,   b ,   m )  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral

∫ A a x + b m d x

Pergunta de milhões: Como achar essa integral?

Percebemos que se chamarmos u = a x + b , sua derivada ficaria

d u = a   d x

E temos isso no nosso integrando! Então vamos usar substituição simples! No caso de m = 1 , temos

1 a ∫ 1 u d u = 1 a ln ⁡ u = 1 a ln ⁡ ( a x + b ) + C

Mas vamos achar uma fórmula para qualquer outro valor de m !

Belê?

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando substituição simples

∫ A a x + b m d x

u = a x + b ,   d u = a   d x

Aí temos

= A a ∫ u - m d u = A a . u - m + 1 - m + 1 + C

Beleza?

Agora nossa missão é resolver esses limites!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

m = 1 : 1 a ln ⁡ ( a x + b ) + C

m ≠ 1 :   A a . u - m + 1 - m + 1 + C

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