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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Q01d) Calcule as integrais abaixo

∫ - 1 0 1 - x x + 2   d x

Passo 1

Essa integral pode até assustar porque tem raiz e polinômios dentro, em cima e em baixo. Mas veja bem, temos uma vantagem enorme: os polinômios serem de primiro grau! Assim podemos fazer uma substituição simples:

u = x + 2

Essa substituição é boa porque faz surgir um u = u 1 2 na integral, algo que a gente tira por integração de polinômios! Usando essa substituição, temos, pros limites de integração:

u = x + 2 →   x = 0   ; u = 2 x = - 1   ; u = 1

Derivando a expressão da substituição simples, achamos que:

d u = d x

E pra fechar com chave de ouro essa substituição simples, da pra gente fazer a seguinte manipulação pra escrever o numerador em função de u :

u = x + 2

- u = - x - 2

- u + 3 = - x + 1

3 - u = 1 - x

E logo a integral fica:

∫ - 1 0 1 - x x + 2   d x = ∫ 1 2 3 - u u   d x

Passo 2

E viu só? A nova integral é bem de boas! Porque podemos fazer a seguinte manipulação:

∫ 1 2 3 - u u   d x = ∫ 1 2 3 - u u 1 2   d x = ∫ 1 2 3 - u u - 1 2   d x = ∫ 1 2 3 u - 1 2 - u 1 2   d x

Resolvendo por integração de polinômios, temos:

∫ 1 2 3 u - 1 2 - u 1 2   d x = 3 u 1 2 1 2 - u 3 2 3 2 u = 1 u = 2 = 6 u 1 2 - 2 u 3 2 3 u = 1 u = 2

∫ 1 2 3 u - 1 2 - u 1 2   d x = 6 ∙ 2 1 2 - 2 ∙ 2 3 2 3 - 6 ∙ 1 1 2 - 2 ∙ 1 3 2 3

∫ 1 2 3 u - 1 2 - u 1 2   d x = 6 2 - 4 2 3 - 6 - 2 3

∫ 1 2 3 u - 1 2 - u 1 2   d x = 18 2 - 4 2 - 18 + 2 3

∫ 1 2 3 u - 1 2 - u 1 2   d x = 14 2 - 16 3

Resposta

∫ - 1 0 1 - x x + 2   d x = 14 2 - 16 3

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x