Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

11)

∫ x * e x 2   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x * e x 2   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x * e x 2 ≥ 0 ;
  2. x * e x 2 < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a substituição, temos:

∫ x   e x 2   d x ∴

Fazendo u = x 2 ∴ d u = 2 x   d x , temos:

= ∫ x e u 2 x   d x ∴

= 1 2 ∫ e u   d x ∴

Aplicando a regra da exponencial, temos:

= e u 2 ∴

= e x 2 2 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x   e x 2   d x ∴

Fazendo u = x 2 ∴ d u = 2 x   d x , temos:

= - ∫ x e u 2 x   d x ∴

= - 1 2 ∫ e u   d x ∴

Aplicando a regra da exponencial, temos:

= - e u 2 ∴

= - e x 2 2 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x * e x 2   d x = e x 2 2 + C ,   p a r a   x * e x 2 ≥ 0 - e x 2 2 + C ,   p a r a   x * e x 2 < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x * e x 2   d x = e x 2 2 + C ,   p a r a   x * e x 2 ≥ 0 - e x 2 2 + C ,   p a r a   x * e x 2 < 0

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