Calcule as integrais dos exercícios 1 a 24 .

8 .   ∫ d t t 2 + 2 t + 2

Passo 1

Primeiramente, vamos reescrever esse denominador assim:

  ∫ d t t 2 + 2 t + 1 + 1

“Ah, mas por quê?” Dá uma olhada nisso aqui:

  ∫ d t t + 1 2 + 1

Isso te lembra alguma coisa? A gente já viu que

d d x arctan ⁡ x = 1 1 + x 2

Será que aqui a gente consegue chegar em algo parecido? Vamos tentar!

Passo 2

Chamando u = t + 1 → d u = d t . Substituindo na integral:

  ∫ d u u 2 + 1

Olha só! Ficou mais fácil agora, né?

∫ d u 1 + u 2 = arctan ⁡ u + C

Passo 3

Lembrando que a nossa variável NÃO é u , portanto, precisamos voltar pro que tínhamos antes:

u = t + 1

arctan ⁡ u + C = arctan ⁡ t + 1 + C

Resposta

8 .   arctan ⁡ t + 1 + C

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