Calcule

∫ x 3 1 - x 2   d x  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral

∫ x 3 1 - x 2   d x

E temos x 3 e x 2 . Sendo assim, temos potências de x e que podemos usar substituição simples1

Pergunta de milhões: Como achar essa substituição?

A ideia é usar o que está dentro da raiz como u , assim ficamos com u e fica mais fácil pra integrar!

u = 1 - x 2

Assim

x 2 = 1 - u

- 1 2 d u = x   d x

E

x 3 1 - x 2   d x = 1 - x 2   . x . x 2 d x = 1 - u . u . - 1 2 d u

Belê?

Então é isso que vamos fazer! Bora integrar?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos encontrar

∫ x 3 1 - x 2   d x

Nosso integrando

1 - u . u . - 1 2 d u

Aí temos

- 1 2 ∫ u d u - ∫ u 3 2 d u  

Beleza?

Agora nossa missão é resolver!

Passo 3

Integrando temos

- 1 2 ∫ u d u - ∫ u 3 2 d u  

= - 1 2 - 2 5 u 5 2 + 2 3 u 3 2

Simplificando e voltando para x

u = 1 - x 2

= 1 5 1 - x 2 5 2   - 1 3 1 - x 2 3 2 + C

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 5 1 - x 2 5 2   - 1 3 1 - x 2 3 2 + C

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