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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Integral Definida, Integração por Substituição

Calcule:

∫ 0 1 x + e x x d x

Passo 1

Fazendo a distributiva das integrais:

I = ∫ 0 1 x d x + ∫ 0 1 e x x d x

A primeira sabemos resolver:

I 1 = ∫ 0 1 x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 + C ' 0 1

Passo 2

Para a segunda, nos utilizaremos de uma substituição simples:

v = x → d v = 1 2 x d x

d x = 2 x d v

Pondo na integral, temos:

I 2 = ∫ x = 0 x = 1 e v x   2 x d v

I 2 = 2 ∫ x = 0 x = 1 e v d v

I 2 = 2 e v + C ' ' x = 0 x = 1

Pondo de volta para x :

I 2 = 2 e x + C ' ' 0 1

Passo 3

Substituindo tudo, obtemos a integral original:

I = 2 3 x 3 2 + C ' 0 1 + 2 e x + C ' ' 0 1

I = 2 3 + 2 e - 2

I = 2 e - 4 3

Resposta

2 e - 4 3

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