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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 10, calcule a integral indicada.

∫ 0 1 / 2 x 1 - x 4 d x

Passo 1

Bora lá? Nesse caso, precisamos fazer uma substituição para resolver essa integral, faremos

u = x 2

d u = 2 x   d x

Então no lugar de x   d x   teremos d u / 2

∫ x 1 - x 4 d x = 1 2 ∫ d u 1 - u 2

Passo 2

Então precisamos resolver

1 2 ∫ d u 1 - u 2

Essa é uma integral já tabelada, não precisamos resolver passo a passo.

∫ d u 1 - u 2   = a r c o s e n ( u )

Passo 3

Para substituir os limites de integração temos que voltar para a expressão original, substituindo u = x 2

∫ 0 1 / 2 x 1 - x 4 d x = 1 2 ∫ 0 1 / 2 d u 1 - u 2

∫ 0 1 / 2 x 1 - x 4 d x = 1 2   a r c o s e n ( x 2 ) 0 1 / 2

Passo 4

Por fim, vamos substituir os limites de integração.

∫ 0 1 / 2 x 1 - x 4 d x = 1 2 arcsen ⁡ 1 2 2 - 1 2 arcsen ⁡ ( 0 2 )    

Como arcsen ⁡ ( 0 ) = 0

∫ 0 1 / 2 x 1 - x 4 d x = 1 2 arcsen ⁡ 1 4

Resposta

∫ 0 1 / 2 x 1 - x 4 d x = 1 2 arcsen ⁡ 1 4

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