2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(g) ∫ x 4 cos ⁡ x 5 + 1 d x

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos obter a integral da função f x = x 4 cos ⁡ x 5 + 1 . Pra isso temos que usar o método de substituição.

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

O método de integração por substituição é o método equivalente a regra da cadeira nas integrais, assim substituímos parte da função de integração por uma variável e consequentemente d x deve ser adaptado para essa nova variável.

Bora ver como é na prática? 👀

Passo 2

Calculando a integral

∫ x 4 cos ⁡ x 5 + 1 d x

Podemos fazer u = x 5 + 1 e consequentemente d u d x = 5 x 4 , ou seja, d x = 1 5 x 4 d u

Substituindo x 5 + 1 e d x na integral, temos

∫ x 4 cos ⁡ x 5 + 1 d x → ∫ x 4 cos ⁡ u 1 5 x 4 d u

∫ cos ⁡ u 1 5 d u

Tirando a constante de dentro da integral...

1 5 ∫ cos ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ u é

1 5 ∫ cos ⁡ u d u = 1 5 s e n u

Temos que voltar u para o domínio de x , então transformamos u em x 5 + 1 de volta

∫ x 4 cos ⁡ x 5 + 1 d x = 1 5 s e n x 5 + 1

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x 4 cos ⁡ x 5 + 1 d x = 1 5 s e n x 5 + 1

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