Calcule as integrais dos exercícios 1 a 24 .

10 .   ∫ x 1 + x 4 3 d x

Passo 1

Normalmente, o mais recomendável é chamar u do cara que está dentro do expoente fracionário. Vamos tentar e ver se isso dá certo:

u = 1 + x → d u = d x

∫ x 1 + x 4 3 d x →   ∫ ( u - 1 ) u 4 3 d x

Agora, a gente pode escrever essa integral da seguinte maneira:

∫ ( u - 1 ) u 4 3 d x = ∫ u u 4 3 - u 4 3 d u = ∫ u 7 3 d u - ∫ u 4 3 d u

Percebe que só temos integral de potências de u . A partir daqui, é só usar aquela regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então:

∫ u 7 3 d u - ∫ u 4 3 d u = u 10 3 10 3 - u 7 3 7 3 + C = 3 u 10 3 10 - 3 u 7 3 7 + C

Passo 2

Lembrando que a nossa variável NÃO é u , portanto, precisamos voltar pro que tínhamos antes:

u = 1 + x

3 u 10 3 10 - 3 u 7 3 7 + C = 3 1 + x 10 3 10 - 3 ( 1 + x ) 7 3 7 + C

Resposta

10 .   3 ( 1 + x ) 10 3 10 - 3 ( 1 + x ) 7 3 7 + C

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