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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

11)

∫ d x x + x 3

Passo 1

Bem, esse tipo de integral é sempre bom pensarmos em como podemos eliminar essas raízes que estão nos complicando.

Uma saída clássica é sempre pensar na racionalização. Porém, racionalizar uma soma de raízes com índices diferentes, sendo sincero contigo eu realmente não sei fazer.

Outra saída é se realizarmos uma substituição mais avançada daquela que estamos acostumados. Venha comigo :D!

Passo 2

Bem se substituíssemos o x por

x = t 2

Repare que a raiz quadrada desapareceria

x = t 2 = t       ( c o n s i d e r a n d o   o   t ≥ 0 )

Mas... Essa escolha ainda não seria muito legal por causa da raiz cúbica

x 3 = t 2 3

Percebeu? Agora... Se pegarmos o x = t 6 , as duas raízes desaparecem ao mesmo tempo:

x = t 6 = t 3 x 3 = t 6 3 = t 2

Então era só pegarmos o expoente que é o M M C de 2 (raiz quadrada) e de 3 (raiz cúbica) saca?

Logo x = t 6 é a substituição ideal!

Passo 3

Beleza, então antes de trocarmos na integral, calculemos o d x para trocarmos também...

x = t 6     →         d x = 6 t 5 d t

Trocando...

∫ d x x + x 3 = ∫ 6 t 5 d t t 3 + t 2     ⇒

∫ 6 t 5 d t t 3 + t 2 = 6 ∫ t 5 d t t 2 t + 1     ⇒

6 ∫ t 3 d t t + 1

Epa! Essa integral que chegamos já é bem mais fácil do que aquela com raízes. Porém, podemos facilitar um pouco mais com um truque que eu vou te passar agora! Só me acompanha no próximo passo! ;)

Passo 4

Cara, uma coisa muito legal nas integrais é que você consegue meio que trocar a ordem das coisas quando você faz uma substituição simples, olha só

6 ∫ t 3 d t t + 1

Seria muito legal se esse termo dos parênteses estivesse em cima e em baixo um termo simples, não seria? Então façamos...

t + 1 = u     ⇒

d u = d t  

Logo... Como t = u - 1 pela substituição simples...

6 ∫ t 3 d t t + 1 = 6 ∫ u - 1 3 d u u

Entendeu o que fizemos?

Essa integral sai mais fácil pois podemos fatorar aquele termo do parênteses lembrando que

a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

Então...

6 ∫ u 3 - 3 u 2 + 3 u - 1 d u u =

6 ∫ u 2 - 3 u + 3 - 1 u   d u

Essa integral é imediata!

6 ∫ u 2 - 3 u + 3 - 1 u   d u = 6 u 3 3 - 3 u 2 2 + 3 u - ln ⁡ u + C =

2 u 3 - 9 u 2 + 18 u - 6 ln ⁡ u + C

Agora o problema não quer saber a solução na variável u e sim na x , então teremos que voltar!

Passo 5

Cuidado, pois fizemos duas substituições se você se recordar:

x = t 6

e

u = t + 1

Então isolando o t no primeiro...

x = t 6         ⇒           t = x 6

Então o u é...

u = x 6 + 1

Trocando na integral

2 u 3 - 9 u 2 + 18 u - 6 ln ⁡ u + C   ⇒

2 x 6 + 1 3 - 9 x 6 + 1 2 + 18 x 6 + 1 - 6 ln ⁡ x 6 + 1 + C

Essa já seria a resposta, mas a gente pode simplificar um pouco mais essa bagunça resolvendo esses termos dos parênteses...

2 x 6 3 + 3 x 6 2 + 3 x 6 + 1 - 9 x 6 2 + 2 x 6 + 1 + 18 x 6 + 18 - 6 ln ⁡ x 6 + 1 + C =

2 x + 3 x 3 + 3 x 6 + 1 - 9 x 3 + 2 x 6 + 1 + 18 x 6 + 18 - 6 ln ⁡ x 6 + 1 + C =

2 x + 6 x 3 + 6 x 6 + 2 - 9 x 3 - 18 x 6 - 9 + 18 x 6 + 18 - 6 ln ⁡ x 6 + 1 + C =

2 x - 3 x 3 + 6 x 6 + 11 - 6 ln ⁡ x 6 + 1 + C

Só note que esse 11 é uma constante assim como o C (constante de integração). Então logo, para ficar mais elegante, podemos tirar o 11 de jogo. Como se o C sugasse a constante pra dentro dele e se precisarmos de um 11 , o C o fornece, sacou?

∫ d x x + x 3 = 2 x - 3 x 3 + 6 x 6 - 6 ln ⁡ x 6 + 1 + C

Passo 6

2 x - 3 x 3 + 6 x 6 - 6 ln ⁡ x 6 + 1 + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x