Calcule ∫ 0 1 l n ( x ) d x .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular

∫ 0 1 l n ( x ) d x

Essa integral não pode ser identificada diretamente, nem resolvida por substituição simples, frações parciais, ou substituições trigonométricas, então, na dúvida, tentemos por partes! Vamos começar a integrar!

Passo 2

A integração por partes se resume em reescrever integrais da forma

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b v d u

aqui não temos muitas escolhas, vamos tomar como u

u = l n ( x ) e d u = 1 x d x

e, também precisamos usar que

d v = d x e v = x

de forma que

∫ 0 1 l n ( x ) d x = l n ( x ) x | 0 1 - ∫ 0 1 x 1 x d x = x l n ( x ) | 0 1 - ∫ 0 1 d x

Parece bem simples, não é? Mas precisamos tomar um pequeno cuidado ao avaliar os limites no primeiro termo!

Passo 3

Vamos avaliar os limites no primeiro termo, temos que

x l n ( x ) | 0 1 = ( 1 ) l n ( 1 ) - ( 0 ) l n ( 0 )

mas l n ( 0 ) diverge, no entanto, temos uma divergência do tipo 0 × ∞ , o que é uma indeterminação, vamos escrever então esse segundo termo como

l i m x → 0 + x l n ( x ) = l i m x → 0 + l n ( x ) 1 / x

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e isso pode ser resolvido utilizando o método de L’hospital, derivando o numerador e denominador, temos que

l i m x → 0 + l n ( x ) 1 / x = l i m x → 0 + 1 / x - 1 / x 2 = - l i m x → 0 + x

ou seja, podemos garantir que

x l n ( x ) | 0 1 = ( 1 ) l n ( 1 ) - ( 0 ) l n ( 0 ) = 0

pois l n ( 1 ) = 0 . Desta maneira, a nossa integral se torna

∫ 0 1 l n ( x ) d x = 0 - x | 0 1 = - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 1 l n ( x ) d x = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x