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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 312456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

h   ∫ x 2 5 x - x 2 d x

Passo 1

Então pessoal, algumas vezes a gente não vai conseguir enxergar de cara qual substituição faremos, mas se dermos uma mexidinha na função já fica mais fácil de visualizar.

Colocando x em evidência temos,

x 2 5 x - x 2 = x 2 x 5 - x = x 5 - x

Então a integral fica assim:

∫ x 2 5 x - x 2 d x = ∫ x 5 - x d x

Passo 2

Agora vamos para substituição! A ideia aqui é jogar o “termo mais extenso” ( 5 - x ) para cima.

Repara como podemos fazer isso,

u = 5 - x → d u = - d x    

Repara que podemos chamar x = 5 - u .

∫ x 5 - x d x = ∫ - 5 - u d u u = ∫ - 5 u + u u   d u

Repara que ao substituir na integral ficamos com um “termo mais extenso” 5 - u em cima. Com isso podemos separar a fração em uma soma

∫ - 5 - u d u u = ∫ - 5 u + u u   d u = ∫ - 5 d u u + ∫ 1   d u

= - 5 ln ⁡ u + u

Voltando para variável x :

∫ x 2 5 x - x 2 d x = - 5 ln ⁡ 5 - x + 5 - x

Ajeitando a equação e colocando a nossa constante de integração C (que é um número qualquer), temos:

= - x - 5 ln ⁡ 5 - x + 5 + C

Mas vem cá, você concorda comigo que C + 5 é uma constante também? Já que estamos somando duas constantes. Logo, vamos apenas colocar o C , beleza? Nesse caso, C = C + 5 . Assim:

= - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Resposta

∫ x 2 5 x - x 2 d x = - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x