Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Ver Teoria
Exercício 171234567891011121314151618192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo C, Provas Professor Saeger – P2 2022.1, Questão 5a

Seja C = C 1 ∪ A B - , onde A = 0 , 5 2 , B = - 1 , 5 2 , e

C 1 :   r → t = t c o s t π , t s e n t π ,   t ∈ π 2 , 5 π 2

  1. Calcule:

∫ C x d x + y d y ( x 2 + y 2 ) 3 / 2

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Bom, para resolvermos nosso exercício, vamos fazer algumas substituições por meio das informações dada no enunciado:

C 1 :   r → t = t c o s t π , t s e n t π ,   t ∈ π 2 , 5 π 2

Aonde:

x ( t ) = t c o s t π

y t = t s e n t π

Show? Com isso vamos conseguir calcular.

Passo 2

Show, vamos calcular:

∫ C x d x + y d y ( x 2 + y 2 ) 3 / 2

Antes, vamos derivar nossas funções:

d x = t c o s t π ' = cos ⁡ t - t s e n ( t ) π

d y = t s e n t π ' = sen ⁡ t + t c o s ( t ) π

Substituindo tudo na nossa integral:

∫ C x d x + y d y ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 = ∫ C t c o s t π cos ⁡ t - t s e n t π + t s e n t π sen ⁡ t + t c o s t π t c o s t π 2 + t s e n t π 2 3 / 2 d t

Ok, eu sei que está algo muito grande, então vamos dar uma arrumada:

∫ C t cos ² ⁡ t - t ² c o s ⁡ ( t ) s e n t π ² + t sen ² ⁡ t + t ² s e n ( t ) c o s t π ² t 2 π ( s e n 2 t + c o s ² ( t ) 3 / 2

∫ C t cos ² ⁡ t + t sen ² ⁡ t π ² + t ² s e n ( t ) c o s t - t ² c o s ⁡ ( t ) s e n t π ² t 2 π 3 / 2

∫ C t π ² t 2 π 3 / 2 d t

Nossa, que diferença né? Aplicamos algumas identidades trigonométricas e ajeitamos umas contas. Vamos continuar ajustando:

∫ C t π ² t 2 π 3 / 2 d t = π π ∫ C 1 t 2 d t

Agora vamos atrás dos limites de integração, pra poder integrar.

Passo 3

O enunciado nos diz que

,   t ∈ π 2 , 5 π 2

Logo:

π π ∫ C 1 t 2 d t = π π ∫ π 2 5 π 2 1 t 2 d t

Agora vamos calcular:

π π ∫ π 2 5 π 2 1 t 2 d t = π π - 1 t π 2 5 π 2

π π ∫ π 2 5 π 2 1 t 2 d t = - π π 2 5 π - 2 π

π π ∫ π 2 5 π 2 1 t 2 d t = 8 π 5 π ²

Resposta

8 π 5 π ²

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x