Resolva a integral definida
Passo 1
Eu sei que essa integral assusta bastante no início. Mas repara bem. Temos um ali escondido no denominador. E temos também um .
Opa, lembra que a derivada de é ?
Fazendo a substituição:
Calculando a integral indefinida:
Passo 2
A integral ainda não está muito simples de resolver, então vamos fazer outra substituição.
Foca na raiz do tipo .
Você concorda que podemos reescrever esse termo da raiz como:
Aí a integral fica assim:
Ok, mas o que isso me traz de vantagem?
Acompanha aqui comigo: se eu chamar de uma nova variável , olha como fica a carinha dessa integral:
Reescrevendo nossa integral ficamos com,
E agora?
Bom, temos uma integral imediata: é a derivada de
Lembra?
Bom, eu sei que parece meio chutado isso aí e que você deve estar pensando que você nunca ia enxergar essa manipulação e essa substituição a serem feitas, mas confia em mim: com o tempo você vai pegando a manha e, depois de fazer muitos exercícios, inevitavelmente, situações parecidas vão acontecer e você vai começar a identificá-las. Aí você vai poder se considerar craque e tirar a maior onda!
Passo 3
Bom, mas a questão ainda não acabou. Queremos uma integral definida. Achamos a primitiva em . Mas agora temos que voltar para a variável original, que era , para então aplicar os limites de integração.
Voltando de para :
Agora voltando agora de para :
Repare que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a integral indefinida foi mais uma ferramenta para calcular a integral. O que eu quero é a integral definida, mas estou colocando para ficar mais certinho.
Passo 4
Agora que tenho a integral indefinida, posso calcular a definida:
Isso é equivalente a escrever assim: