Calcule a integral abaixo

∫ cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos lembrar do seguinte, a relação Fundamental da Trigonometria é essa aqui:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Correto? Se deixarmos o pedaço do sem sozinho, olha como fica:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

É exatamente o termo que está na integral! Vamos jogar lá para ver como fica:

∫ cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x sen 2 ⁡ x d x

Passo 2

Cara, a gente sabe que a derivada do seno é cos ⁡ x , né? Bom, e se eu substituir o seno, então, por uma variável auxiliar u :

u = sen ⁡ x ; d u = cos ⁡ x   d x

Em cima como eu tenho cos ⁡ x   d x e se d u é igual a menos isso, vou substituir na integral – d u . Trocando tudo para termos de u , ficaria assim:

∫ cos ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = ∫ d u u 2

= ∫ u - 2 d u

= - 1 u + C = - 1 u + C

Passo 3

Como u = sen ⁡ ( x ) , desfazendo a substituição achamos o resultado:

- 1 u + C = - 1 sen ⁡ x + C = - cossec ⁡ x + C

Resposta

- cossec ⁡ x + C

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