h   ∫ x 2 5 x - x 2 d x

Passo 1

Polinômio sobre polinômio, isso geralmente é resolvido pela integral por frações parciais. Para isso, o grau do polinômio de cima tem que ser menor que o de baixo, então vamos dividir o cara de cima pelo denominador:

x 2 5 x - x 2 = x 2 - 5 x + 5 x 5 - x 2

= - 1 + 5 x 5 x - x 2

Dá até para simplificar um x ali do segundo termo:

x 2 5 x - x 2 = - 1 + 5 5 - x

Então a integral fica assim:

∫ x 2 5 x - x 2 d x = ∫ - 1 + 5 5 - x d x

Passo 2

Agora pensando em resolver essa integral, o problema está só no segundo termo, já que a integral de - 1 já sabemos que será - x . Eu tinha dado a dica de fazer por frações parciais, mas esse cara que sobrou sai por substituição simples mesmo!

u = 5 - x → d u = - d x     ;   5 d x = - 5 d u

∫ 5 5 - x d x = ∫ - 5 d u u

= - 5 ln ⁡ u = - 5 ln ⁡ 5 - x

Então, a integral toda fica assim:

∫ x 2 5 x - x 2 d x = ∫ - 1 + 5 5 - x d x

= - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Resposta

∫ x 2 5 x - x 2 d x = - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x