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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

16)

∫ e x   2 e x   3 e x     d x

Passo 1

Bem, para começar esse problema, veja que podemos fazer uma substituição simples para tirar esse e x da jogada e facilitar a nossa vida

e x = a     →           d a = e x d x

∫ e x   2 e x   3 e x     d x = ∫   2 a   3 a     d a

Bem, embora ficasse um pouco mais simples, ainda temos trabalho a fazer, pois essa integral não sai diretamente. O primeiro trabalho é transformar essas potências em uma exponencial, pois exponencial sabemos integrar, sacou? Então Veja !

Passo 2

Bem, para transformar em uma exponencial sem modificar o valor temos que colocar um l n :

2 a = e ln ⁡ 2 a   ⇒

Por outra propriedade do logaritmo, podemos falar que

2 a = e a ln ⁡ 2

O mesmo podemos fazer com o 3 a e substituir na integral

∫   2 a   3 a     d a = ∫   e a ln ⁡ 2 ⋅   e a ln ⁡ 3     d a =

∫   e a ln ⁡ 2 + a ln ⁡ 3     d a =

∫   e a ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3     d a

Agora é só calcular essa integral e correr para o abraço ;)

Passo 3

Nessa integral, podemos fazer outra substituição...

a ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 = b   →         d b = ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 d a

Isolando o d a ...

d a = d b ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3

Trocando na integral

∫   e a ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3     d a = ∫   e b     d b ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 =

1 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 ∫   e b     d b

Essa integral é easy pra gente, pois integral de exponencial é ela mesma:

1 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 ∫   e b     d b = e b ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + C

Passo 4

Agora não esqueça que terminou a integral, devemos voltar para a variável original, no caso o x :

b = a ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3

e

e x = a

Então

b = e x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 = e x ln ⁡ 2 + e x ln ⁡ 3

ln ⁡ 2 e x + ln ⁡ 3 e x

e o resultado

∫ e x   2 e x   3 e x     d x = e ln ⁡ 2 e x + ln ⁡ 3 e x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + C =

e ln ⁡ 2 e x ⋅ e ln ⁡ 3 e x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + C =

2 e x ⋅ 3 e x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + C

Resposta

2 e x ⋅ 3 e x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x