Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

3)

∫ 3 x - 2 x 3 + 3 x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ 3 x - 2 x 3 + 3 x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. 3 x - 2 x 3 + 3 x ≥ 0 ;
  2. 3 x - 2 x 3 + 3 x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a regra da potência, temos:

∫ 3 x - 2 x 3 + 3 x d x ∴

= ∫ 3 x d x - ∫ 2 x 3 d x + ∫ 3 x d x ∴

= 3 ∫ x 1 / 2 d x - 2 ∫ x - 3 d x + 3 ∫ x - 1 2 d x ∴

= 2 x 3 / 2 + 1 x 2 + 6 x + C

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - 3 x - 2 x 3 + 3 x d x ∴

= - ∫ 3 x d x + ∫ 2 x 3 d x - ∫ 3 x d x ∴

= - 3 ∫ x 1 2 d x + 2 ∫ x - 3 d x - 3 ∫ x - 1 2 d x ∴

= - 2 x 3 2 - 1 x 2 - 6 x + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ 3 x - 2 x 3 + 3 x   d x = 2 x 3 / 2 + 1 x 2 + 6 x + C ,   p a r a   x ≥ 0 - 2 x 3 2 - 1 x 2 - 6 x + C ,   p a r a   x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 3 x - 2 x 3 + 3 x   d x = 2 x 3 / 2 + 1 x 2 + 6 x + C ,   p a r a   3 x - 2 x 3 + 3 x ≥ 0 - 2 x 3 2 - 1 x 2 - 6 x + C ,   p a r a   3 x - 2 x 3 + 3 x < 0

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