UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Integrais, Questão 8.7
Mostre que .
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Precisamos mostrar que
é o que mesmo? O enunciado não diz, mas creio que devemos mostrar o resultado conhecido
para fazer isso vamos partir da seguinte integral
e, como temos que é uma função par, podemos relacionar ambas as integrais através de
O segredo está em reescrever a integral e utilizar coordenadas polares! Saca só!
Passo 2
Vamos dar um nome para nossa integral, temos que
eu dei esse nome apenas para podermos discutir com mais calma! Vamos tomar o quadrado desta integral, temos que
Mas qual a vantagem disso? Note que o que aparece dentro da integral na verdade não tem importância, ele poderia ser chamado de qualquer coisa e o resultado seria o mesmo! Isso é o que chamamos de variáveis mudas, sendo assim, vamos chamar o na segunda integral por outro nome, tal como
Isso pode ser reescrito como
como as variáveis são independentes, isso não é problema algum! Ainda mais, podemos usar a propriedade da exponencial para escrever
Não parece ter melhorado muito, certo? Maaaas, pelo menos agora tem uma coisa que podemos fazer! Vamos olhar esse problema em coordenadas polares! Saca só!
Passo 3
Coordenadas polares são da forma
e
com jacobiano dado por
podemos usar isso para reescrever o nosso integrando! Mas antes, como ficarão os limites de integração? Note que as nossa variáveis vão de até , então elas cobrem todo o plano , uma forma de fazermos isso com coordenadas polares, é considerar os seguintes limites de integração
Essa integral nós conseguimos resolver! Vamos lá!
Passo 4
A integral em é o verdadeiro desafio, usando uma substituição simples da forma
e
temos que a integral se torna
a integral em pode ser escrita como
avaliando os limites temos que
no limite a exponencial tende a um número muito pequeno, portanto, temos que
E, portanto, nossa integral é dada por
ou simplesmente
usando a relação de paridade, finalmente mostramos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!