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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFSC – Cálculo 2 – Prof. Dr. Romulo Castillo – P2 – 2014/2

1) Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponda:

a) ∫ sen ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 d θ

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ sen ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 d θ .

Repara que do jeito que tá não conseguimos calcular, né? Mas como temos um monte de cosseno embaixo e tem seno em cima, lembrando que menos seno é a derivada do cosseno, então vamos usar substituição simples.

Passo 2

Para a substituição:

u = cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ → sen ⁡ θ d θ = - d u

E a integral fica:

∫ sen ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 d θ = ∫ - d u u 3 - u 2 + u - 1

= - ∫ 1 u 3 - u 2 + u - 1 d u

Podemos reescrever em:

= - ∫ 1 u 2 u - 1 + u - 1 d u

= - ∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u

Passo 3

Vamos pegar o que está dentro da integral e dividir em frações parciais:

1 u - 1 u 2 + 1 = A u - 1 + B u + C u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A u 2 + 1 + B u + C u - 1 u - 1 u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A u 2 + A + B u 2 - B u + C u - C u - 1 u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A + B u 2 + - B + C u + A - C u - 1 u 2 + 1

Ficamos com o sistema:

A + B = 0 - B + C = 0 A - C = 1

Resolvendo:

A = 1 2

B = - 1 2

C = - 1 2

A integral fica:

- ∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u = - 1 2 ∫ 1 u - 1 + - u - 1 u 2 + 1 d u

= - 1 2 ∫ 1 u - 1 - u u 2 + 1 - 1 u 2 + 1 d u

= - 1 2 ∫ 1 u - 1 d u - ∫ u u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 d u

Passo 4

Resolvendo a integral do meio, que não sai direto, usando outra substituição simples:

v = u 2 + 1

d v = 2 u   d u → u d u = d v 2

A integral fica:

∫ u u 2 + 1 d u = ∫ 1 v d v 2

= 1 2 ln ⁡ v

Voltando pra u :

= 1 2 ln ⁡ u 2 + 1

Passo 5

E voltando pra equação lá do final do passo 3:

= - 1 2 ∫ 1 u - 1 d u - ∫ u u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 d u

= - 1 2 ln ⁡ u - 1 - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 - arctan ⁡ u

Agora só falta voltar pro cosseno:

= - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 2 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - arctan ⁡ cos ⁡ θ

= - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 4 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - 1 2 arctan ⁡ cos ⁡ θ

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 4 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - 1 2 arctan ⁡ cos ⁡ θ + C

Resposta

- 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 4 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - 1 2 arctan ⁡ cos ⁡ θ + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x