UFRJ. Cálculo 1. Prova P2. 2022.1. Questão 1b.
1) Calcule as integrais.
b)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão foi apenas solicitado que calculássemos a integral de em um intervalo de variando de a .
Imagine um cenário que temos que calcular a área abaixo de uma curva e essa curva é justamente obtida por . Não podemos calcular a base · altura de cada pedaço, isso daria muito trabalho!
O que poderíamos fazer é calcular a integral dessa função no intervalo dado!
Entendeu? Mas então como podemos calcular a integral de uma função assim?? 🤔🤔
Existe uma técnica muito interessante que consiste em substituir por outra variável. Essa técnica chamamos de substituição e substituindo parte da função por de modo que derivando em relação a , conseguimos simplificar a integral substituindo .
Bora ver como é? 😁
Passo 2
A função de integração é dada por , se substituirmos por , temos que
E, derivando ...
Isolando
Convertendo nossa integral para a coordenada , temos
Podemos colocar para fora da integral, resultando em
E não podemos esquecer dos limites de integração e .
Se está variando entre esses valores, podemos dizer que e limitam nossa região.
Mas se , então para
E para
Logo, nessas novas coordenadas, os limites de integração vão de a .
Escrevendo a função com os limites de integração, temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Mas agora chegamos em um outro entrave! Se formos calcular não íamos conseguir naturalmente, então precisamos de alguma outra técnica para esse caso.
Essa técnica que podemos aplicar é muito usada para a integral de produto de duas funções.
A integração por partes consiste em reescrever uma função que é o produto entre duas outras funções como
Deu pra entender? Se chamarmos de e de , derivando para encontrar e integrando temos e , ou seja, e
Substituindo esses valores na fórmula, vamos obter
Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a integral de é igual a
Aplicando os limites de integração de e
Portanto, como tínhamos dessa integral, o resultado é
Com isso, vemos que a integral de com variando entre e , resulta em .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
