Calcule as integrais dos exercícios 1 a 24 .

11 .   ∫ c o s x 4 + s e n 2 x d x

Passo 1

Primeiramente, vamos reescrever esse denominador assim:

1 4 ∫ c o s x 1 + s e n 2 x 4 d x

“Ah, mas por quê?” Dá uma olhada nisso aqui:

1 4   ∫ c o s x 1 + s e n x 2 2 d x

Isso te lembra alguma coisa? A gente já viu que

d d x arctan ⁡ x = d x 1 + x 2

E já vimos que a derivada do seno é o cosseno...

Será que aqui a gente consegue chegar em algo parecido? Vamos tentar!

Passo 2

Chamando u = s e n x 2 → d u = cos ⁡ x 2 d x . Substituindo na integral:

1 4   ∫ c o s x 1 + s e n x 2 2 d x → 1 4   ∫ 2 1 + u 2 d u

Olha só! Ficou mais fácil agora, né?

1 2 ∫ d u 1 + u 2 = 1 2 arctan ⁡ u + C

Passo 3

Lembrando que a nossa variável NÃO é u , portanto, precisamos voltar pro que tínhamos antes:

u = s e n x 2

1 2 arctan ⁡ u + C = 1 2 arctan ⁡ s e n x 2 + C

Resposta

11 .   1 2 arctan ⁡ s e n x 2 + C

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