Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Ver Teoria
Exercício 431234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro rearranjar a nossa integral

∫ - 4 - 3 d x x 2 - 4 3 2 = ∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4

Nosso primeiro passo é identificar qual nosso caso de substituição trigonométrica precisamos usar.

Perceba que temos

x 2 - 4

Que está no mesmo formato que

x 2 - a 2

Nesse caso

x = a sec ⁡ θ

Então teremos

x = 2 sec ⁡ θ

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d x , derivando

x = 2 sec ⁡ θ

d x = 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir x e d x na nossa integral

∫ - 4 - 3 d x x 2 - 4 3 2 = ∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = ∫ - 4 - 3 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ ( 4 sec 2 ⁡ θ - 4 ) 4 sec 2 ⁡ θ - 4 d θ

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = ∫ - 4 - 3 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Substituindo tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = ∫ - 4 - 3 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ d θ

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ - 4 - 3 sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ - 4 - 3 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ 1 cos ⁡ θ d θ

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ - 4 - 3 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

O próximo passo é resolver mesmo nossa integral

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ - 4 - 3 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Vamos resolver por substituição

u = sen ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ   d θ

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 1 4 ∫ - 4 - 3 1 u 2 d u

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = - 1 4 u - 4 - 3

Refazendo a substituição

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = - 1 4 sen ⁡ θ - 4 - 3

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

x 2 = sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Então

cos ⁡ θ = 2 x

Usando Pitágoras podemos encontrar o cateto oposto

x 2 = 2 2 + h 2

h = x 2 - 4

Então

sen ⁡ θ = x 2 - 4 x

Substituindo na nossa integral

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = - 1 4 x 2 - 4 - 4 - 3

Aplicando os limites de integração

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 3 4 5 - 1 12

∫ - 4 - 3 d x ( x 2 - 4 ) x 2 - 4 = 3 5 20 - 3 6

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x