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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFRJ, Lista 18 – Exercício 4

Uma partícula se move em linha reta com função velocidade v t = sin ⁡ ω t cos 2 ⁡ ( ω t ) . Encontre sua função posição s = f t se f 0 = 0

Passo 1

Temos que a função velocidade é a derivada da função posição, então, podemos encontrar a função posição integrando a função velocidade

s = f t = ∫ 0 t sin ⁡ ω t cos 2 ⁡ ( ω t ) d t

Vamos resolver pelo método da substituição

Seja u = c o s ⁡ ( ω t ) , temos que d u = - ω sin ⁡ ω t d t . Vamos também calcular os novos limites de integração

u i n f e r i o r = cos ⁡ 0 = 1

u s u p e r i o r = cos ⁡ ω t

Então

∫ 0 t sin ⁡ ω t cos 2 ⁡ ( ω t ) d t = ∫ 1 cos ⁡ ω t - 1 ω u 2 d u = - 1 ω ∫ 1 cos ⁡ ω t u 2 d u = - 1 ω 1 3 u 3 1 cos ⁡ ω t = - 1 ω 1 3 cos 3 ⁡ ω t - 1 3 = 1 3 ω - 1 3 ω cos 3 ⁡ ω t = 1 3 ω 1 - cos 3 ⁡ ω t

Temos então que

s = 1 3 ω 1 - cos 3 ⁡ ω t

Note que não colocamos a constante de integração c pois ele nos dá que f 0 = 0 , logo c = 0

Resposta

s = f t = 1 3 ω 1 - cos 3 ⁡ ω t

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