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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ 1 4 x 2 - 9 3 2 d x

Passo 1

Vamos usar a substituição trigonométrica aqui. Esse caso é o da substituição da secante:

x 2 - a 2 → x = a sec ⁡ θ

Nesse caso, a 2 = 9 4 , o que gera a = 3 2 .

Logo,

x = 3 2 sec ⁡ θ       ;       d x = 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Usando isso na integral:

∫ 1 4 x 2 - 9 3 2 d x = ∫ 1 4 3 2 sec ⁡ θ 2 - 9 3 2 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

= ∫ 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9 3 2 d θ = ∫ 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 27 sec 2 ⁡ θ - 1 3 2 d θ

Passo 2

Como sec 2 ⁡ θ - 1 = tg 2 ⁡ θ , teremos:

∫ 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 27 sec 2 ⁡ θ - 1 3 2 d θ = ∫ 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 27 tg 2 ⁡ θ 3 2 d θ

= ∫ 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 27 tg 3 ⁡ θ d θ = 1 18 ∫ sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ

Abrimos sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ e tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ .

1 18 ∫ sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ = 1 18 ∫ 1 cos ⁡ θ     sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 d θ = 1 18 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Por substituição.

u = sen ⁡ θ       ;       d u = cos ⁡ θ d θ

1 18 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = 1 18 ∫ d u u 2 = 1 18 ∫ u - 2 d u = 1 18 u - 1

= 1 18 u = 1 18 sen ⁡ θ

Passo 4

Inicialmente, tínhamos:

x = 3 2 sec ⁡ θ → sec ⁡ θ = 2 x 3

Como sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ , e cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 , então

cos ⁡ θ = 3 2 x       ;     sen ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

sen ⁡ θ = 1 - 3 2 x 2 = 1 - 9 4 x 2

Assim, o resultado achado será

∫ 1 4 x 2 - 9 3 2 d x = 1 18 sen ⁡ θ = 1 18 1 - 9 4 x 2 + C

Resposta

∫ 1 4 x 2 - 9 3 2 d x = 1 18 1 - 9 4 x 2 + C

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