Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.

e )   ∫ x 1 - x 4 d x

Passo 1

Oiiie, tudo certinho? Bora que bora?

Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Para identificar qual é o nosso caso, vamos primeiro reescrever um pouco nossa integral! Temos:

∫ x 1 - x 4 d x = ∫ x ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 2 ) d x

Podemos trabalhar com dois casos diferentes, vamos escolher o seguinte:

a 2 - x 2

Em que a = 1 . Para esta situação é conveniente usar a substituição:

x = a sin ⁡ ( θ ) = sin ⁡ ( θ )         e           d x = cos ⁡ ( θ ) d θ

Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!

Passo 2

Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:

∫ x ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 2 ) d x = ∫ sin ⁡ ( θ ) ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) ( 1 + sin 2 ⁡ ( θ ) ) d θ

Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vem comigo!

Passo 3

Vamos lembrar que:

sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 → cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 - sin 2 ⁡ ( θ )

Ou seja,

∫ sin ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ 1 + sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 1 + sin 2 ⁡ θ d θ = →

→ = ∫ sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) 1 + sin 2 ⁡ ( θ ) d θ

Para resolver esta integral temos um pequeno truque! Segue comigo!

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição:

u = sin ⁡ ( θ )   e   d u = cos ⁡ ( θ ) d θ

De forma que obtemos:

∫ sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) 1 + sin 2 ⁡ ( θ ) d θ = ∫ u 1 + u 2 d u

Hmmm... não parece perfeito ainda! Mas por incrível que pareça, só precisamos de uma segunda substituição da forma:

v = 1 + u 2   e     d v = 2 u d u

E agora nossa integral fica como:

∫ u 1 + u 2 d u = 1 2 ∫ v d v

A primitiva pode ser identificada como:

1 2 v 3 2 3 / 2   + C = 1 3 v 3 / 2 + C    

Voltando para a variável θ , temos:

1 3 v 3 / 2 + C = 1 3 1 + u 2 3 / 2 + C = 1 3 1 + sin 2 ⁡ θ 3 / 2 + C

Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!

Passo 5

Temos que:

x = sin ⁡ ( θ ) → sin ⁡ ( θ ) = x 1 = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

E, utilizando Pitágoras para obter o cateto adjacente, temos:

1 2 = x 2 + c 2 → c = 1 - x 2

E nosso triângulo retângulo tem a forma:

Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!

Passo 6

Desta forma, temos que:

sin ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = x 1 = x

Maravilha! Nossa resposta final é então:

∫ x 1 - x 4 d x = 1 3 1 + x 2 3 / 2 + C

Feito! Bora para a próxima hehehehe! Até daqui a pouco!

Resposta

∫ x 1 - x 4 d x = 1 3 1 + x 2 3 / 2 + C

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