3.7. Agora resolva estas daqui:

(c) ∫ s e n 5 x c o s 2 x d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral da função f x = s e n 5 x c o s 2 x .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para nos ajudar nos cálculos, temos que aplicar alguma identidade trigonométrica pra simplificar a nossa função de integração.

No caso, a identidade é dada por

s e n 5 x c o s 2 x = s e n 2 x 2 s e n x c o s 2 x = 1 - c o s 2 x 2 s e n x c o s 2 x

Sacou? Bora ver como fica no nosso caso! 😉

Passo 2

Aplicando a identidade na nossa integral...

∫ s e n 5 x c o s 2 x d x → ∫ 1 - c o s 2 x 2 s e n x c o s 2 x d x

Assim podemos aplicar o método da substituição fazendo u = cos ⁡ x e consequentemente d x = - 1 s e n x d u .

Assim, nossa integral será dada por

∫ 1 - c o s 2 x 2 s e n x c o s 2 x d x → ∫ 1 - u 2 2 s e n x u 2 - 1 s e n x d u

∫ - 1 - u 2 2 u 2 d u

∫ - 1 - 2 u 2 + u 4 u 2 d u

∫ - u 2 - 2 u 4 + u 6 d u

Pelo método de integração polinomial, vamos obter

∫ - u 2 - 2 u 4 + u 6 d u = - u 3 3 - 2 u 5 5 + u 7 7

Voltando u para o domínio de x fazendo u = cos ⁡ x ...

∫ s e n 5 x c o s 2 x d x = - c o s 3 x 3 - 2 c o s 5 x 5 + c o s 7 x 7 + C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ s e n 5 x c o s 2 x d x = - c o s 3 x 3 - 2 c o s 5 x 5 + c o s 7 x 7 + C

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