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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.9 – 1k

Calcule a integral

∫ 0 a x 2 a 2 - x 2 d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = a sin ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = a cos ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e depois substituir na nossa integral

θ i n f e r i o r : 0 = a sin ⁡ θ ∴ θ = 0  

θ s u p e r i o r : a = a sin ⁡ θ ∴ θ = π 2

∫ 0 a x 2 a 2 - x 2 d x = ∫ 0 π 2 a 2 sin 2 ⁡ θ a 2 - a 2 sin 2 ⁡ θ a cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 a 2 sin 2 ⁡ θ a 2 ( 1 - sin 2 ⁡ θ a cos ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 0 π 2 a 2 sin 2 ⁡ θ a 2 ( 1 - sin 2 ⁡ θ a cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 a 2 sin 2 ⁡ θ a 2 cos 2 ⁡ θ a cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 a 2 sin 2 ⁡ θ ⋅ a cos ⁡ θ ⋅ a cos ⁡ θ d θ = a 4 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) d θ

Passo 2

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 8 1 - cos ⁡ 4 θ

Então, substituindo

a 4 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) d θ = a 4 8 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ d θ = a 4 8 θ - sin ⁡ 4 θ 0 π 2 = a 4 8 π 2 - 0 - 0 - 0 = a 4 π 16

Resposta

∫ 0 a x 2 a 2 - x 2 d x = π a 4 16

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