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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 1 – Alternativa n)

Calcule:

n )   ∫ x 2 1 + x 2 d x

Passo 1

Vamos que vamos para mais uma questão!

Saca só! Para resolver essa questão você vai precisar utilizar uma substituição trigonométrica, assim como, relações trigonométricas para simplificar o integrando. Também vamos precisar utilizar algumas formulas de redução para integrais de potências da função sec ⁡ ( θ ) , até finalmente conseguirmos determinar uma primitiva!

Vamos com calma nessa, passo a passo, que tudo vai dar certo! Bora lá!

Passo 2

Nesta questão é conveniente utilizarmos uma substituição trigonométrica para começar! Nós temos um integrando relacionado ao caso:

a 2 + x 2

Caso no qual é conveniente fazer a substituição:

x = a tan ⁡ ( θ )           e           d x = sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

Em nosso caso com a = 1 . Bora lá!

Passo 3

Temos que com a substituição nosso integrando fica da seguinte forma:

∫ x 2 1 + x 2 d x = ∫ tan 2 ⁡ ( θ ) 1 + tan 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

Agora vamos utilizar a seguinte relação trigonométrica:

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ           ( 1 )

De forma que:

∫ tan 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tan 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ

Não dá para fazermos muita coisa com a integral da forma que ela está! Mas podemos aplicar novamente a equação (1)! Vamos lá!

Passo 4

Nós temos que:

∫ tan 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ = ∫ sec 5 ⁡ ( θ ) d θ - ∫ sec 3 ⁡ ( θ ) d θ

Para resolver estas duas integrais que restaram precisaremos utilizar a seguinte fórmula de redução:

∫ sec m ⁡ ( θ ) d θ = sin ⁡ ( θ ) sec m - 1 ⁡ ( θ ) m - 1 + m - 2 m - 1 ∫ sec m - 2 ⁡ ( θ ) d θ           ( 2 )

Vamos aplicar esta fórmula primeiro para a integral com m = 5 . Belezinha?

Passo 5

Temos que:

∫ sec 5 ⁡ ( θ ) d θ = sin ⁡ ( θ ) sec 4 ⁡ ( θ ) 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ ( θ ) d θ = tan ⁡ ( θ ) sec 3 ⁡ ( θ ) 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ ( θ ) d θ

Voltando na nossa integral original, temos:

∫ sec 5 ⁡ ( θ ) d θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tan ⁡ ( θ ) sec 3 ⁡ ( θ ) 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ ( θ ) d θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Ou seja, temos que resolver a seguinte integral:

tan ⁡ ( θ ) sec 3 ⁡ ( θ ) 4 - 1 4 ∫ sec 3 ⁡ ( θ ) d θ

Bora lá!

Passo 6

Temos que aplicar a fórmula de redução (2) de novo, com m = 3 , de forma que:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Então, a nossa integral fica como:

tan ⁡ ( θ ) sec 3 ⁡ ( θ ) 4 - 1 4 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec 3 ⁡ θ 4 - sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 8 - 1 8 ∫ sec ⁡ θ d θ

Reescrevendo-a mais um pouquinho, ficamos com:

tan ⁡ θ sec 3 ⁡ θ 4 - tan ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) 8 - 1 8 ∫ sec ⁡ θ d θ

Para a integral que restou, temos apenas que identificar a sua primitiva! Bora lá!

Passo 7

A primitiva que precisamos identificar é da forma:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ + C

Ou seja, nossa integral é tal que:

tan ⁡ θ sec 3 ⁡ θ 4 - tan ⁡ θ sec ⁡ θ 8 - 1 8 ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ + C

Ainda precisamos voltar para a variável original! Vamos fazer isso agora!!!

Passo 8

Como temos que x 1 = tan ⁡ ( θ ) = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e , podemos identificar que c a t e t o   o p o s t o = x e c a t e t o   a d j a c e n t e = 1 . Podemos aplicar Pitágoras para obter:

h 2 = x 2 + 1 → h = x 2 + 1

Uma vez que sec ⁡ ( θ ) = 1 cos ⁡ ( θ ) e cos ⁡ ( θ ) = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 1 x 2 + 1 , temos finalmente:

sec ⁡ ( θ ) = x 2 + 1

Vamos reescrever a nossa solução!!

Passo 9

Usando que x = tan ⁡ ( θ ) e sec ⁡ ( θ ) = x 2 + 1 , temos:

∫ x 2 1 + x 2 d x = x x 2 + 1 3 / 2 4 - x x 2 + 1 8 - 1 8 ln ⁡ x + x 2 + 1 + C

Uff... A alternativa quase acabou com a gente, mas saímos vitoriosos e prontos para outra! Bora Bora!! Até daqui a pouco!

Resposta

∫ x 2 1 + x 2 d x = x x 2 + 1 3 / 2 4 - x x 2 + 1 8 - 1 8 ln ⁡ x + x 2 + 1 + C

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