Calcule

∫ 1 1 + t 2 d t  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral

∫ 1 1 + t 2 d t

Como temos x 2 + a 2 , vamos usar substituição trigonométrica!

Pergunta de milhões: Como resolver?

Daquele tipo vamos usar a substituição

t = tan ⁡ θ

Pois

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E aí podemos cair numa integral mais simples!

Belê?

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral

∫ 1 1 + t 2 d t

Aí temos

t = tan ⁡ θ

Derivando

d t = sec 2 ⁡ θ d θ

1 + t 2 = 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Substituindo temos

∫ 1 sec 2 ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ d θ

∫ d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolve!

Passo 3

Integrando

∫ d θ = θ + C

Precisamos voltar para t

t = tan ⁡ θ

θ = arctan ⁡ t

∫ 1 1 + t 2 d t = arctan ⁡ t + C

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

arctan ⁡ t + C

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