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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Inicialmente, precisamos encontrar qual caso de substituição se aplica na nossa integral

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ∫ x x 2 + 6 x + 9 + 4 d x = ∫ x x + 3 2 + 4 d x  

Para facilitar nossa vida vamos fazer uma substituição

u = x + 3

d u = d x

Então

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ∫ u - 3 u 2 + 4 d u

Nesse caso

u = a tan ⁡ θ

Então teremos

u = 2 tan ⁡ θ

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d u , derivando

u = 2 tan ⁡ θ

d u = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir u   e d u na nossa integral.

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 3 4 tan 2 ⁡ θ + 4 2 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 3 4 ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos fazer a substituição tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 3 4 sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Simplificando a expressão

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ∫ tan ⁡ θ d θ - 3 2 ∫ d θ

Passo 4

O próximo passo é resolver a integral

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ∫ tan ⁡ θ d θ - 3 2 ∫ d θ

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ln ⁡ sec ⁡ θ - 3 2 θ + C

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para u e depois para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

tan ⁡ θ = u 2

Então

Usando Pitágoras podemos encontrar o cateto adjacente

h 2 = 4 + u 2

h = 4 + u 2

Com isso, encontramos

sec ⁡ θ = 4 + u 2 2

E

θ = arctan ⁡ u 2

Substituindo na nossa integral

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ln ⁡ sec ⁡ θ - 3 2 θ + C

∫ u - 3 u 2 + 4 d u = ln ⁡ 4 + u 2 2 - 3 2 arctan ⁡ u 2 + C

Mas u = x + 3 . Então

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ln ⁡ 4 + ( x + 3 ) 2 2 - 3 2 arctan ⁡ x + 3 2 + C

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ln ⁡ x 2 + 6 x + 13 - 3 2 arctan ⁡ x + 3 2 + C

Resposta

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