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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

2)

∫ d x 4 x + x 2

Passo 1

Bem, uma integral como essa, pensaríamos sempre em uma substituição. O grande problema é que a derivada da função do interior da raiz

4 x + x 2 = a       →               d a = 2 x + 4 d x

não tem no d x para poder substituir. Por isso, descartamos essa possibilidade.

Outra possibilidade é com uma substituição trigonométrica. Vejamos como isso fica! ;)

Passo 2

Repare que a função do interior da raiz se completa quadrado fácil lembrando que x + 2 2 = x 2 + 4 x + 4 ...

∫ d x 4 x + x 2 = ∫ d x x + 2 2 - 4

Uma equação da trigonometria que é simplesmente um arraso é

tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t - 1

Se multiplicarmos por 4 , ou melhor, 2 2 ...

2 2 tan 2 ⁡ t = 2 2 sec 2 ⁡ t - 4     →

2 tan ⁡ t 2 = 2 sec ⁡ t 2 - 4  

Epa! Se compararmos com a expressão da raiz no denominador...

x + 2 2 - 4   →

Podemos falar que...

x + 2 = 2 sec ⁡ t

Essa é a substituição saca? :D Calculando o d x derivando...

d x = 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t

Substituindo...

∫ d x x + 2 2 - 4 = ∫ 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t 2 sec ⁡ t 2 - 4 =

∫ 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t 2 tan ⁡ t 2 =

∫ 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t 2 tan ⁡ t =

∫ sec ⁡ t d t

Passo 3

Como a integral da secante é recorrente nas provas é legal que se memorize e seu valor é...

∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t + C

Voltando para a variável original em x ... Como...

sec ⁡ x = x + 2 2

A tangente será...

tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t - 1       →

tan ⁡ t = x + 2 2 2 - 1

Então...

∫ d x 4 x + x 2 = ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t + C =

ln ⁡ x + 2 2 + x + 2 2 2 - 1 + C

Passo 4

Se você reparar, essa é a resposta bonitinha, mas no gabarito está de “outra” forma...

ln ⁡ x + 2 + 4 x + x 2 + C

Aí você se desespera! “Wow, Gosh! Será que eu errei?”

E a resposta é... Não! Não errou. Acontece que a resposta está um pouco mais trabalhada (queriam que você pensasse que tivesse errado).

Olha só, vamos primeiro trabalhar com aqueles parênteses na nossa resposta:

∫ d x 4 x + x 2 = ln ⁡ x + 2 2 + x + 2 2 2 - 1 + C =

ln ⁡ x + 2 2 + x 2 + 4 x + 4 4 - 4 4 + C = ln ⁡ x + 2 2 + x 2 + 4 x + 4 - 4 4 + C =

ln ⁡ x + 2 2 + 1 2 x 2 + 4 x + C = ln ⁡ x + 2 + x 2 + 4 x 2 + C =

Por propriedade de logaritmos...

ln ⁡ x + 2 + x 2 + 4 x - ln ⁡ 2 + C =

Como - ln ⁡ 2 é uma constante... O C , que é a constante de integração, já serve como uma constante geral. Se precisarmos desse número, é só tomar a constante igual a ele, saca? Por isso ele é “engolido” pra dentro do C :

∫ d x 4 x + x 2 = ln ⁡ x + 2 + x 2 + 4 x + C

Resposta

ln ⁡ x + 2 + x 2 + 4 x + C

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