UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 4.3
4.3. Explique como você resolve uma integral do tipo no caso em que é par ou então é ímpar. Explique de duas formas: (i) usando a identidade trigonométrica que envolve e e (ii) fazendo a simplificação e . Se e , seu método funciona?
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Temos que explicar como podemos resolver a integral
Quando é um número par e quando é um número ímpar usando identidades trigonométricas e usando as simplificações e .
Parece tranquilo? 🤔
Passo 2
Vamos analisar o primeiro método:
(i) Usando a identidade trigonométrica: Podemos usar a identidade trigonométrica
para simplificar a expressão antes de integrar.
Se é par, podemos reescrever a expressão como
Em seguida, substituímos por , resultando
Agora, podemos fazer uma substituição e . Consequentemente a integral se torna
que é mais fácil de integrar.
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Agora, se é ímpar, podemos reescrever a expressão como
Usando a identidade , temos
A primeira integral é mais fácil de lidar, enquanto a segunda pode ser simplificada usando a identidade .
Bacana, não é? 😉
Passo 4
No segundo caso, fazendo a simplificação e podemos reescrever a expressão inicial como
Agora, podemos simplificar essa expressão combinando as potências de
Assim, a integral se torna
que pode ser resolvida usando técnicas de integração, como substituição trigonométrica ou integração por partes, dependendo do valor de e .
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 5
Por fim, no caso específico em que e , o método (i) funciona, pois é par. Usando a identidade trigonométrica, podemos simplificar a expressão como
Em seguida, aplicamos a substituição e para simplificar ainda mais a integral.
Já na segunda técnica, não podemos aplicar o método da substituição diretamente. O que temos que fazer é substituir por separar em duas frações e aplicar algumas identidades trigonométricas.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Relações trigonométricas e o método de substituição