Um valor de b ∈ R que satisfaz a equação

∫ 2 b d t t t 2 - 1 = π 12

é:

a) 1

b) 2

c) - 1

d) 0

e) - 2

Passo 1

Falaaa aí! Vamos começar! Precisamos resolver essa integral, primeiro:

∫ 2 b d t t t 2 - 1

A gente não consegue pensar em uma substituição simples para fazer. Mas já que ali tem um termo t 2 - a 2 , com a = 1 , vamos usar a substituição a trigonométrica:

t = a sec ⁡ θ = sec ⁡ θ

d t d θ = t g   θ sec ⁡ θ ∴ d x = t g   θ sec ⁡ θ d θ

A integral fica assim:

∫ 1 sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 t g   θ sec ⁡ θ d θ

Vamos lembrar agora que

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

Dividindo os dois lados por cos 2 ⁡ θ e ajeitando:

1 + t g 2 θ + sec 2 ⁡ θ

sec 2 ⁡ θ - 1 = t g 2 θ

Podemos reescrever a integral assim:

∫ 1 t g 2 θ t g   θ   d θ = ∫ 1 d θ = θ

Passo 2

Mas a gente precisa desse resultado em função de t , então podemos escrever

t = sec ⁡ θ ∴ θ = a r c s e c t

∫ d t t t 2 - 1 = a r c s e c t

∫ 2 b d t t t 2 - 1 = a r c s e c t 2 b = arcsec ⁡ b - arcsec ⁡ 2 = arcsec ⁡ b - π 4

Passo 3

Agora a gente volta para a equação e descobre b :

arcsec ⁡ b - π 4 = π 12

arcsec ⁡ b = π 12 + π 4 = π 3

b = sec ⁡ π 3

Já que cos ⁡ π / 3   é 1 / 2 , o inverso disso, que é a secante vai ser:

b = 2

Resposta

Letra b

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x