Substituição Trigonométrica
Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Para integrar essa função vamos pensar em integração por partes, já que estamos trabalhando com funções muito distintas: logaritmo não tem nenhuma relação direta com polinômios. Pela regrinha do LIATE nós devemos escolher como nosso da integração por partes o , o resto do termo será . A partir disso, tudo consiste em aplicar a fórmula desse método:
Essa integral do a gente pode fazer por substituição simples do .
Agora aplicamos aquela fórmula da integral por partes:
Agora sobrou uma outra integral, resolvemos ela para finalizar!
Passo 2
Esse cara aí só tem polinômios, com o detalhe que um deles é de segundo grau e está dentro de uma raiz, num formato que se encaixa em , um dos casos para a substituição trigonométrica. Esse caso aí é o da secante!
Jogando na integral, ficamos assim:
Repara que a tangente sai da raiz como módulo! Porém, como é, por definição, maior ou igual a e chamamos , vemos que será, necessariamente positivo. Como havíamos visto, , então a tangente será sempre positiva e seu módulo será igual a ela mesma:
Ora, como , e .
Passo 3
Voltando ao passo , substituímos o que acabamos de achar: