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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Inicialmente, precisamos encontrar qual caso de substituição se aplica na nossa integral

x 2 + 2 x + 5 = x 2 + 2 x + 1 + 4

x 2 + 2 x + 5 = x + 1 2 + 4

Para facilitar nossa vida vamos fazer uma substituição

u = x + 1

d u = d x

Então

∫ x x 2 + 2 x + 5 d x = ∫ u - 1 u 2 + 4 d u

Repare que está no mesmo formato de

u 2 + a 2

Nesse caso

u = a tan ⁡ θ

Então teremos

u = 2 tan ⁡ θ

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d u , derivando

u = 2 tan ⁡ θ

d u = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir u   e d u na nossa integral.

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 1 4 tan 2 ⁡ θ + 4 2 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 1 4 ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos fazer a substituição tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 1 4 sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = ∫ 2 tan ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = 2 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

O próximo passo é resolver a integral

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = 2 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = 2 sec ⁡ θ - ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ + C

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para u e depois para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

tan ⁡ θ = u 2

Então

Usando Pitágoras podemos encontrar o cateto adjacente

h 2 = 4 + u 2

h = 4 + u 2

Com isso, encontramos

sec ⁡ θ = 4 + u 2 2

Substituindo na nossa integral

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = 2 sec ⁡ θ - ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ + C

∫ u - 1 u 2 + 4 d u = 2 4 + u 2 2 - ln ⁡ u 2 + 4 + u 2 2 + C

Mas u = x + 1

Então

∫ x x 2 + 2 x + 5 d x = 2 4 + ( x + 1 ) 2 2 - ln ⁡ ( x + 1 ) 2 + 4 + ( x + 1 ) 2 2 + C

∫ x x 2 + 2 x + 5 d x = x 2 + 2 x + 5 - ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 5 + C

Resposta

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
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