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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 3.7d

3.7. Agora resolva estas daqui:

(d) ∫ s e n 4 x d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral da função f x = s e n 4 x .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para a integral de uma função s e n x elevado a potência n , existe uma regrinha que podemos usar para facilitar nossa vida.

Quando temos a integral de f x = s e n n x , o resultado é dado por

∫ s e n n x d x = - cos ⁡ x s e n n - 1 x n + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x d x

Já viu isso antes? 🤔

Passo 2

Aplicando essa regrinha para o nosso caso, com n = 4

∫ s e n 4 x d x = - cos ⁡ x s e n 4 - 1 x 4 + 4 - 1 4 ∫ s e n 4 - 2 x d x

∫ s e n 4 x d x = - cos ⁡ x s e n 3 x 4 + 3 4 ∫ s e n 2 x d x

Aplicando essa regrinha novamente para s e n 2 x com n = 2 ...

∫ s e n 2 x d x = - cos ⁡ x s e n 2 - 1 x 2 + 2 - 1 2 ∫ s e n 2 - 2 x d x

∫ s e n 2 x d x = - cos ⁡ x s e n x 2 + 1 2 ∫ 1 d x

Pelo método de integração polinomial, a integral de 1 com relação a x é o próprio x , ou seja

∫ s e n 2 x d x = - cos ⁡ x s e n x 2 + 1 2 x + C

Substituindo na integral de s e n 4 x ...

∫ s e n 4 x d x = - cos ⁡ x s e n 3 x 4 + 3 4 - cos ⁡ x s e n x 2 + 1 2 x + C

∫ s e n 4 x d x = 3 8 x - cos ⁡ x s e n 3 x 4 - 3 cos ⁡ x s e n x 8 + C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ s e n 4 x d x = 3 8 x - cos ⁡ x s e n 3 x 4 - 3 cos ⁡ x s e n x 8 + C

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