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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – N3 – 2021.2 – Questão 3

Calcular a integral ∫ x 2 4 - x 2 d x

a ) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de fração parcial, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos 4 θ - 1 2 sin ⁡ ( 6 θ ) .

b ) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de integral por partes, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos θ - 1 3 sin ⁡ 2 θ .

c ) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de substituição de variáveis, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos θ - 1 6 sin ⁡ 3 θ .

d ) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de integração por substituição trigonométrica, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos 2 θ - 1 2 sin ⁡ ( 4 θ ) .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Temos aqui uma questão que pede para que integremos a expressão no enunciado, as alternativas consistem em definir qual é a técnica de integração que será utilizado e então identificar uma passagem intermediária. Como temos um integrando que contém uma raiz com uma soma (ou subtração) em que temos a variável ao quadrado, da seguinte forma

a 2 ± x 2

Em particular temos 2 2 - x 2 = 4 - x 2 . Convenientemente iremos utilizar substituição trigonométrica para trabalhar esta integral! Bora lá!

Passo 2

No caso particular a substituição mais conveniente é tal que

x = 2 sin ⁡ θ → d x = 2 cos ⁡ θ d θ

De forma que nosso integrando se torna

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 2 sin ⁡ θ 2 4 - 2 sin ⁡ θ 2 ( 2 cos ⁡ θ d θ )

Evidenciando termos constantes dentro do radicando e tirando algumas constantes para fora da integral podemos simplificar esta expressão da seguinte maneira

I = 8 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) 4 ( 1 - sin 2 ⁡ ( θ ) ) d θ   = 16 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) 1 - sin 2 ⁡ θ d θ  

Ótimo! A questão está encaminhando para o que precisamos! Vamos utilizar agora algumas identidades trigonométricas! Vem comigo!

Passo 3

Vamos de cara identificar que

sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 → cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 - sin 2 ⁡ θ           ( 1 )

De forma que nosso integrando se torna

16 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) 1 - sin 2 ⁡ θ d θ   = 16 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) d θ   = 16 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) d θ

Ainda temos algumas identidades trigonométricas que precisamos usar! Vamos lá!

Passo 4

Vamos utilizar duas relações de uma vez, elas são as seguintes

sin 2 ⁡ ( θ ) = 1 2 1 - cos ⁡ ( 2 θ )           ( 2 )

E

cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 2 1 + cos ⁡ ( 2 θ )

Para escrever o nosso integrando da seguinte forma

16 ∫ sin 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) d θ = 16 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Podemos distribuir estes produtos e tirar algumas constantes para fora da integral

I = 4 ∫ 1 - cos ⁡ ( 2 θ ) 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) d θ = 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ ( 2 θ ) d θ

Vamos mais uma vez utilizar as relações trigonométricas para simplificar essa integral! Bora Bora!

Passo 5

É a última vez, eu prometo! Mas vamos utilizar a equação (1) e depois a equação (2) para simplificar a integral, vamos obter que

4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ ( 2 θ ) d θ = 4 ∫ sin 2 ⁡ ( 2 θ ) d θ = 4 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ ( 4 θ ) d θ

Que podemos separar em duas integrais

I = 2 ∫ d θ - 2 ∫ cos ⁡ 4 θ d θ

Ambas podem ser identificadas em termos de primitivas! Vamos fazer isso agora!

Passo 6

Temos as seguintes integrais que podem ser identificadas, primeiro

∫ d θ = θ + C

E também

∫ cos ⁡ ( 4 θ ) d θ = 1 4 sin ⁡ ( 4 θ ) + C

E a nossa integral, se torna, finalmente

2 ∫ d θ - 2 ∫ cos ⁡ 4 θ d θ = 2 θ - 2 1 4 sin ⁡ 4 θ + C = 2 θ - 1 2 sin ⁡ ( 4 θ )

Com isso já podemos garantir que a única alternativa verdadeira no enunciado é a alternativa d ) . No entanto, apenas por completeza, vamos obter o resultado da integral em termo das variáveis originais! Saca só!

Passo 7

Lembrando qual é a nossa substituição original, temos que

x = 2 sin ⁡ ( θ ) → θ = sin - 1 ⁡ ( x / 2 )

E a nossa integral é então

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 sin - 1 ⁡ ( x / 2 ) - 1 2 sin ⁡ 4 sin - 1 ⁡ x 2 + C

Este é nosso resultado final! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F F F V

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