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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 2 – Alternativa f)

Calcule:

f )   ∫ sin ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x

Passo 1

Eaew, firmezinha?

Para esta questão fica a seguinte dica! Sempre que ver uma questão que é produto de senos e cossenos com argumento diferentes, você precisa utilizar uma combinação de expansões do tipo sin ⁡ ( A ± B ) e cos ⁡ ( A ± B ) , para facilitar a sua vida, na lista 9 desta mesma disciplina é apresentada a relação:

sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 sin ⁡ ( a + b ) + sin ⁡ ( a - b )

Em que podemos identificar em nosso integrando que a = 3 x e b = 8 x . Bora lá!

Passo 2

Temos que:

∫ sin ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x = 1 2   ∫ sin ⁡ 3 x + 8 x + sin ⁡ 3 x - 8 x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ ( 11 x ) + sin ⁡ ( - 5 x ) d x

Lembrando que sin ⁡ ( a x ) = - sin ⁡ ( - a x ) , temos que:

1 2 ∫ sin ⁡ ( 11 x ) + sin ⁡ ( - 3 x ) d x = 1 2 ∫ sin ⁡ ( 11 x ) d x - 1 2 ∫ sin ⁡ ( 5 x ) d x

Precisamos utilizar algumas integrais já conhecidas, bora lá!

Passo 3

Temos que:

∫ sin ⁡ ( a x ) d x =   - 1 a cos ⁡ a x + C

Em nosso caso, temos a = 11 e a = 5 , portanto:

1 2 ∫ sin ⁡ ( 11 x ) d x - 1 2 ∫ sin ⁡ 5 x d x = 1 2 - 1 11 cos ⁡ 11 x - 1 2 - 1 5 cos ⁡ 5 x + C = 1 10 cos ⁡ 5 x - 1 22 cos ⁡ 11 x + C

Resumindo:

∫ sin ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x = 1 10 cos ⁡ ( 5 x ) - 1 22 cos ⁡ 11 x + C

Mais uma alternativa já era! Bora para a próxima!

Resposta

∫ sin ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x = 1 10 cos ⁡ ( 5 x ) - 1 22 cos ⁡ 11 x + C

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