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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.9 – 2

Calcule as integrais abaixo:

∫ 1 4 + x 2   d x

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos precisar aqui fazer uma substituição para calcular essa integral.

Além disso, vamos precisar uns algebrismos aqui!! Então, vem comigo!!

Passo 2

Vamos aplicar aqui nosso algebrismo:

∫ 1 4 + x 2   d x = ∫ 1 4 1 + x 2 4   d x = 1 2 ∫ 1 1 + x 2 2   d x

Agora vamos aplicar nossa substituição:

x 2 = s e n u

1 2 d x = cos ⁡ u d u

d x = 2 cos ⁡ u d u

Aplicando a substituição, temos:

∫ 1 2 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u d u

Passo 3

Aplicando a identidade trigonométrica: s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

Temos que: 1 - s e n 2 u = cos 2 ⁡ u

Substituindo, temos:

∫ 1 2 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u d u = ∫ 1 cos 2 ⁡ u cos ⁡ u   d u

∫ 1 cos ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ d u

Logo, temos:

∫ d u = u + C

Passo 4

Pela substituição lá do passo 2, temos:

x 2 = s e n u

Logo,

u = a r c s e n x 2

Assim, temos:

∫ 1 4 + x 2   d x = a r c s e n x 2 + C

Resposta

a r c s e n x 2 + C

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