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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFRJ – Sem Campus – Cálculo 1 – Listas do AVA - Lista 18 – Questão 5

A eletricidade doméstica é fornecida na forma de corrente alternada que varia de 155   V a - 155   V com uma frequência de 60 ciclos por segundo ( H z ) . A voltagem então, é dada pela seguinte equação

E t = 155 s i n ⁡ ( 120 π t )

Onde t é o tempo em segundos. Os voltímetros leem a voltagem RMS (raiz da média quadrática), que é a raiz quadrada do valor médio de E t 2 em um ciclo.

Calcule a voltagem RMS da corrente doméstica

Muitos fornos elétricos requerem a voltagem RMS de 220   V . Encontre a amplitude A correspondente necessária para a voltagem E t = A sin ⁡ 120 π t .

Passo 1

a) Primeiro, calculamos o valor médio em si, integrando E t 2 em um ciclo ( t ∈ [ 0 ; 1 / 60 ] ) – lembrando que 1 minuto tem 60 segundos - então

E t 2 = 155 sin ⁡ 120 π t 2 = 155 2 sin 2 ⁡ ( 120 π t )

Como queremos a voltagem RMS, queremos o somatório de todos valores dentro daquele ciclo. Para isso vamos integrar a função de 0 até 1 60 , e dividir pela variação de tempo, ou seja, Δ t = 1 / 60 .

E t m e d i o 2 = 1 1 60 ∫ 0 1 60 155 2 sin 2 ⁡ 120 π t d t = 60 ⋅ 155 2 ∫ 0 1 60 sin 2 ⁡ ( 120 π t ) d t

Para resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ ( x ) = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x . Então, substituindo

E t m e d i o 2 = 60 ⋅ 155 2 ∫ 0 1 60 sin 2 ⁡ 120 π t d t = 60 ⋅ 155 2 ∫ 0 1 60 1 2 1 - cos ⁡ 240 π t d t = 60 ⋅ 155 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 1 60 1 - cos ⁡ 240 π t d t = 60 ⋅ 155 2 ⋅ 1 2 ⋅   t - 1 240 π sin ⁡ 240 π t 0 1 60 = 60 ⋅ 155 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 60 - 0 - 0 - 0 = 155 2 2

Então, o RMS a raiz quadrada desse valor

R M S = 155 2 2 = 155 2 ≈ 110   V

Passo 2

b) Agora, faremos o processo inverso da letra (a), então

E t 2 = A sin ⁡ 120 π t 2 = A 2 sin 2 ⁡ 120 π t

220 = E t m e d i o 2

220 2 = E t m e d i o 2 = 1 1 60 ∫ 0 1 60 A 2 sin 2 ⁡ 120 π t d t

Analogamente a letra (a), podemos encontrar o valor da integral rapidamente (já que tudo é igual, somente fizemos A = 155 )

220 2 = A 2 2

A 2 = 2 ⋅ 220 2

A = 220 2 ≈ 311   V

Resposta

a) R M S ≈ 110   V

b) A ≈ 311   V

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