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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Precisamos resolver

∫ d x x 1 - x 2 3 2   = ∫ d x x ( 1 - x 2 ) 1 - x 2

Podemos utilizar a substituição

u = 1 - x 2

d u =   - x 1 - x 2 d x

Então

u 2 = 1 - x 2

x 2 = 1 - u 2 = - ( u 2 - 1 )

Aplicando na integral ficamos com

∫ d x x 1 - x 2 3 2   = ∫ d u u 2 ( u 2 - 1 )

Passo 2

Perceba que

∫ d u u 2 ( u 2 - 1 ) = ∫ d u u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 )

Aqui, podemos utilizar frações parciais para nos ajudar a resolver

1 u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 ) = A u 2 + B ( u - 1 ) + C u + 1

Trabalhando a expressão ficamos com

1 u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 ) = A ( u 2 - 1 ) u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 ) + B u 2 ( u + 1 ) u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 ) + C u 2 ( u - 1 ) u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 )

1 = A u 2 - A + B u 3 + B u 2 + C u 3 - C u 2

u 3 B + C + u 2 A + B - C - A

Logo

A = - 1 ;     B = 1 2 ;     C = - 1 2

Aplicando na integral vamos ficar com

∫ d u u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 ) = - ∫ d u u 2 + 1 2 ∫ d u u - 1 - 1 2 ∫ d u u + 1

Passo 3

Integrando teremos

∫ d u u 2 ( u - 1 ) ( u + 1 ) = 1 u + 1 2   l n   u - 1   - 1 2   l n   u + 1 + C  

E desfazendo a nossa substituição

u = 1 - x 2

∫ d x x 1 - x 2 3 2   = 1 1 - x 2 + 1 2   l n   1 - x 2 - 1   - 1 2   l n   1 - x 2 + 1 + C  

Pronto! Resolvido!

Resposta

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