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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Substituição trigonométrica

Use substituição trigonométrica para calcular a integral dada.

∫ 2 x x 2 - 4 x + 8 2 d x

Passo 1

Bem, ele disse que é para usar substituição trigonométrica, então vamos usá-la. Porém, o integrando ainda não está na forma perfeita para usarmos esse método (Nota-se, né? A equação está zuada...).

Logo, o primeiro passo será manipular o integrando para encontrarmos um dos casos de integração por substituição trigonométrica:

a 2 - x 2 ;   a 2 + x 2 ;   x 2 - a 2

Talvez, para chegarmos lá, iremos ter que usar uma substituição antes. Vamu vê.

Passo 2

Vamos começar completando quadrados

x 2 - 4 x + 8

Mas como?

Compara com o produto notável

x 2 - 4 x = a 2 + 2 a b + b 2

a 2 = x 2 ⇒ x = a

- 4 x = 2 a b ⇒ - 4 x = 2 x b ⇒ b = - 2

Precisamos somar e subtrair b 2

x 2 - 4 x + 8 = x 2 - 4 x + 4 + 8 - 4

x - 2 2 + 4

Passo 3

Vamos precisar usar primeiro a substituição

u = x - 2

Precisamos calcular sua diferencial

d u = d x

Substituindo

∫ 2 x x 2 - 4 x + 8 2 d x = ∫ 2 x x - 2 2 + 4 2 d x = ∫ 2 u + 2 u 2 + 4 2 d u

Passo 4

Agora sim! Vamos seguir os passos do método de integração por substituição trigonométrica:

1. Identificar o caso da substituição trigonométrica e o valor de a .

O caso é x 2 + a 2 . E além disso

a = 2

2. Aplicar a substituição recomendada e calcular d u .

Temos que fazer u = 2 tg ⁡ θ , para - π 2 ≤ θ ≤ π 2 .

d u = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

3. Substituir na integral dada.

∫ 2 u + 2 u 2 + 4 2 d u

∫ 2 2 tan ⁡ θ + 2 4 tg 2 ⁡ θ + 1 2 ⋅ 2 sec 2 ⁡ θ d θ =

∫ 8 tan ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ 4 sec 2 ⁡ θ 2 = ∫ 8 tan ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ 16 sec 4 ⁡ θ =

∫ tan ⁡ θ + 1 d θ 2 sec 2 ⁡ θ

Passo 5

4. Resolver a integral na variável θ .

∫ tan ⁡ θ + 1 d θ 2 sec 2 ⁡ θ = ∫ tan ⁡ θ + 1 d θ 2 1 cos 2 ⁡ θ = ∫ tan ⁡ θ + 1 cos 2 ⁡ θ d θ 2

Separado essa integral em duas vamos ter

∫ tan ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ 2 + ∫ cos 2 ⁡ θ 2 d θ

Lembrando que

cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ + 1 2

A integral fica

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ 2 + ∫ cos ⁡ 2 θ + 1 2 2 d θ

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ 2 + ∫ cos ⁡ 2 θ + 1 4 d θ

Passo 6

Vamos resolver primeiro a integral

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ 2

Podemos fazer a substituição

v = cos ⁡ θ

Calculando a diferencial

d v = - sen ⁡ θ d θ

Vamos agora deixar igual ao termo que está na integral

- d v = sen ⁡ θ d θ

E já está exatamente assim na integral, vamos agora substituir na integral

∫ - v d v 2

Resolvendo a integral

∫ - v d v 2 = - v 2 / 2 2 + C = - v 2 4 + C

Desubstituindo vamos ter

- cos ⁡ θ 2 4 + C

Passo 7

Vamos resolver a outra integral agora

∫ cos ⁡ 2 θ + 1 4 d θ

Podemos fazer a substituição

v = 2 θ

Calculando a diferencial

d v = 2 d θ

Dando aquela arrumada para encontrar algo parecido com algo da integral

d v 2 = d θ

vamos agora substituir na integral

∫ cos ⁡ v + 1 4 d v 2 = ∫ cos ⁡ v + 1 8 d v  

Resolvendo a integral

∫ cos ⁡ v + 1 8 d v = sen ⁡ v + v 8 + C

Desubstituindo vamos ter

sen ⁡ 2 θ + 2 θ 8 + C = sen ⁡ 2 θ 8 + θ 4 + C

Passo 8

Vamos ter então o seguinte resultado para a integral

∫ tan ⁡ θ + 1 cos 2 ⁡ θ d θ 2 = - cos ⁡ θ 2 4 + C + sen ⁡ 2 θ 8 + θ 4 + C

Podemos juntar essas constantes em uma só e ter

- cos ⁡ θ 2 4 + sen ⁡ 2 θ 8 + θ 4 + C

Vamos abrir aquele sen ⁡ 2 θ para termos algo que depende de seno e cosseno. Basta lembrar que

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Vamos ter

- cos ⁡ θ 2 4 + sen ⁡ 2 θ 8 + θ 4 + C = - cos ⁡ θ 2 4 + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 8 + θ 4 + C

- cos ⁡ θ 2 4 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + θ 4 + C

5. Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Fizemos que u = 2 tg ⁡ θ → tg ⁡ θ = u 2 .

Sabemos que tangente = cateto oposto cateto adjacente   = u 2

Assim, cateto oposto = u , cateto adjacente = 2   e   hipotenusa = u 2 + 4

Repare que o lado do triângulo que falta sempre será igual à expressão do caso de substituição do início do problema.

Logo,

sen ⁡ θ = u u 2 + 4

cos ⁡ θ = 2 u 2 + 4

Lembrando também que para acharmos θ usamos tg ⁡ θ = u 2

tg ⁡ θ = u 2 ⟹ θ = arctan ⁡ u 2

Substituindo:

- 2 u 2 + 4 2 4 + u u 2 + 4 2 u 2 + 4 4 + arctan ⁡ u 2 4 + C

- 4 4 u 2 + 4 + u u 2 + 4 2 u 2 + 4 4 + arctan ⁡ u 2 4 + C

- 4 4 u 2 + 4 + 2 u 4 u 2 + 4 + arctan ⁡ u 2 4 + C

2 u - 4 4 u 2 + 4 + arctan ⁡ u 2 4 + C

2 u - 2 4 u 2 + 4 + arctan ⁡ u 2 4 + C

u - 2 2 u 2 + 4 + arctan ⁡ u 2 4 + C

Passo 9

Temos a resposta em u , precisamos desubstituir o valor de u pelo de x , lembrando que

u = x - 2

u - 2 2 u 2 + 4 + arctan ⁡ u 2 4 + C = x - 2 - 2 2 x - 2 2 + 4 + arctan ⁡ x - 2 2 4 + C

x - 4 2 x 2 - 4 x + 8 + arctan ⁡ x - 2 2 4 + C

Resposta

x - 4 2 x 2 - 4 x + 8 + arctan ⁡ x - 2 2 4 + C

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