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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2021, VF, Q5B

Resolva, desenvolvendo detalhadamente, as integrais abaixo:

  1. ∫ 0 π 2 2 sin ⁡ u sin ⁡ u + 1 + cos ⁡ u d u

  2. ∫ 2 x - x 2 d x

  3. ∫ ⁡ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x

Passo 1

Falaaaaaaaaa, galerinha do mal! Vamos tentar obter uma simetria aqui:

I = ∫ 2 x - x 2 d x = ∫ x ( 2 - x ) d x

Se tomarmos y = 1 - x , com d y = - d x , e y ∈ [ - 1,1 ] temos:

I = ∫ 1 - y 1 + y - d y

= - ∫ 1 - y 2 d y

Agora, o truque é substituir y = cos ⁡ t , com d y = - sin ⁡ t d t e t ∈ 0 , π , para sairmos da raiz quadrada. Assim,

I = - ∫ 1 - cos 2 ⁡ t   - sin ⁡ t d t

= ∫ sin 2 ⁡ t sin ⁡ t d t = ∫ | sin ⁡ t | sin ⁡ t d t

Como em t ∈ 0 ,   π   , sin ⁡ t ≥ 0 , temos:

I = ∫ sin 2 ⁡ t d t

Passo 2

Aplicando integração por partes:

u = sin ⁡ t d v = sin ⁡ t d t ⇒ d u = cos ⁡ t   d t v = - cos ⁡ t

Logo,

I = ∫ sin 2 ⁡ t d t

= ∫ u d v = u v - ∫ v d u

= - sin ⁡ t cos ⁡ t + ∫ cos 2 ⁡ t   d t

= - sin ⁡ t cos ⁡ t + ∫ 1 - sin 2 ⁡ t   d t

⇒ I = - sin ⁡ t cos ⁡ t +   t - I

Passando I pro outro lado e dividindo por 2:

I = - 1 2 sin ⁡ t cos ⁡ t + t 2 + C ,       C ∈ R

Passo 3

Agora, só resta voltar a variável original. Como sin ⁡ t ≥ 0 , temos sin ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t , logo:

I = - 1 2 cos ⁡ t 1 - cos 2 ⁡ t   + 1 2 t + C ,       C ∈ R

Assim, substituindo y = cos ⁡ t :

I = - 1 2 y 1 - y 2 + 1 2 arccos ⁡ y + C

Para y = 1 - x , temos:

I = - 1 2 1 - x 2 x - x 2 + 1 2 arccos ⁡ 1 - x + C ,       C ∈ R

Resposta

I = - 1 2 1 - x 2 x - x 2 + 1 2 arccos ⁡ 1 - x + C ,       C ∈ R

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