3a) Calcule a integral:
Passo 1
Parece um tico complicada essa integral, mas relaxa que vamos tirar de letra. Dá uma olhada nessa manipulação:
Opa, não é que aparece duas vezes? Uma estratégia interessante então vai ser fazer uma substituição simples:
Logo, vamos ter:
Passo 2
Agora, ficamos com uma integral um pouco mais tranquila de resolver. Da uma boa olhada no interior da raiz:
Um polinômio de , não é? Geralmente quando temos um polinômio com essa cara dentro de uma raiz vai ser interessante fazer uma substituição trigonométrica. Afinal, temos:
Então se:
A identidade trigonométrica fica:
Olha só! O polinômio no interior da raiz apareceu aí! Substituindo, temos:
Faltou só a gente trocar . Pra isso, basta derivar:
E a integral fica:
Agora é só resolver. Das propriedades trigonométricas, podemos reescrever essa integral para:
Agora é direto galera! Olha só como essa integral fica:
Mas como:
Ficamos com:
Passo 3
Pra fechar com chave de ouro, vamos voltar às variáveis originais. Temos que a resposta deu:
Mas, como a substituição:
Foi feita, vamos ter que:
E da identidade trigonométrica:
Chegamos à:
Agora sim podemos voltar pra variável ! Vamos ter:
Mas a variável original nem era o , não é mesmo? Era o ! Sem problemas, vamos voltar pro lembrando que:
Sendo assim, fechamos a questão e o resultado da integral é: