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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

1ii) Calcule as seguintes integrais:

∫ d x x 2 + 2 x + 2

Passo 1

Geralmente quando a gente pega uma integral desses com polinômio de segundo grau dentro de raiz, uma boa saída é fazer substituição trigonométrica. Mas antes disso, vamos dar uma ajeitada nessa integral. Saca só:

∫ d x x 2 + 2 x + 2 = ∫ d x x 2 + 2 x + 1 + 1 = ∫ d x x + 1 2 + 1

Fazendo a substituição simples:

z = x + 1 → d x = d z

Ficamos com: ∫ d x x 2 + 2 x + 2 = ∫ d z z 2 + 1

Agora que temos um termo menorzinho, dá uma olhada nas relações trigonométricas:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

1 + ctg 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E se uma dessas relações fosse parecida com o que temos dentro da integral? Veja bem:

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Se escolhêssemos:

z = tg ⁡ θ

Nossa integral ficaria:

∫ d z z 2 + 1 = ∫ d z tg 2 ⁡ θ + 1 = ∫ d z sec 2 ⁡ θ = ∫ d z sec ⁡ θ

Cada vez menor a integral não é? Falta só uma coisa: transformar d z em d θ . Pra isso, só precisamos derivar viu?

z = tg ⁡ θ

d z d θ = sec 2 ⁡ θ

d z = sec 2 ⁡ θ d θ

E a nossa integral vira:

∫ d z sec ⁡ θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ   sec ⁡ θ = ∫ sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Passo 2

Agora que fechamos a integral, só precisamos voltar pra variável original. Veja bem, a substituição que tínhamos feito foi:

z = tg ⁡ θ

Sendo assim, vamos ter:

ln ⁡ sec ⁡ θ + z

Beleza, mas e aquele sec ⁡ θ sozinho ali? A gente acha ele da seguinte relação trigonométrica:

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

z 2 + 1 = sec 2 ⁡ θ

sec ⁡ θ = z 2 + 1

E logo o resultado da nossa integral vira:

ln ⁡ z 2 + 1 + z

Mas não acabou por aí! A variável original era x e não z ! Da substituição simples:

z = x + 1

Temos então que:

ln ⁡ z 2 + 1 + z = ln ⁡ x + 1 2 + 1 + x + 1

A resposta final vai ser:

∫ d x x 2 + 2 x + 2 = ln ⁡ x + 1 2 + 1 + x + 1 + C

Resposta

∫ d x x 2 + 2 x + 2 = ln ⁡ x + 1 2 + 1 + x + 1 + C

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