USP – Sem Campus – Cálculo 1 – Provas Antigas – P2 IME -2021.1 - 5
Seja uma função derivável, com derivada continua tal que para todo . Sabendo que e , o valor da integral:
É:
Passo 1
Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima!
Nessa questão precisamos calcular uma integral que envolve a função , o problema é que não é falado que função é essa. Sabemos apenas que ela é limitada entre e , e também que:
Puts, o que podemos fazer?
De começo essa integral parece bem estranha, mas vou te mostrar que não é tão assim. Pra resolvermos essa integral, primeiro vamos observar que é limitada entre e . Qual outra classe de funções também é limitada nesses valores?
Exatamente, a função e também são assim.
Por isso, uma ideia interessante pra resolver essa integral, é começar fazendo uma substituição de variáveis. Vamos substituir esse por uma função em que a gente consiga trabalhar tranquilamente aqui. Vou escolher o como substituição a . Logo:
Portanto, a integral fica:
Mas gente, quem é ? Se a gente lembrar das propriedades de funções trigonométricas, temos que:
Logo,
Portanto nossa integral fica:
Passo 2
Belezinha, agora chega de surpresas e vamos continuar resolvendo:
Para essa divisão dentro da integral:
Portanto:
E essa integral é bem conhecida, inclusive já tabelada em todos os livros de cálculo. Ela é igual a:
Agora desfazendo a substituição:
Passo 3
Agora que resolvermos a nossa integral, vamos aplicar os limites de integração que a questão nos deu.
Substituindo por: e :
Logo,
Sendo assim o item b) a resposta correta
Resposta
b)