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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Calcule:

(a) ∫ 2 x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Tentar sumir com a raiz usando algum método de integração

Raizes, raízes e mais raízes. O que fazer com elas quando aparecem em integrais? Podemos tentar uma substituição simples, não? Mas talvez fique mais complicado. Que tal então uma trigonométrica? Dá uma olhada:

sin 2 ⁡ θ +   cos 2 ⁡ θ = 1

Sendo assim:

  cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

cos ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Opa, agora temos algo parecido com o denominador da integral, não? Se fizemos:

1 - x 2 = cos ⁡ θ

Vamos acabar fazendo a substituição trigonométrica:

x = sin ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ   d θ

Rearranjando a integral, vamos ter então:

∫ 2 x 2 1 - x 2 d x =   ∫ 2 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ =   ∫ 2 sin 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Resolver a integral rearranjada

Agora que sumimos com a raiz, podemos relaxar um pouco, não é mesmo? Precisamos resolver:

∫ 2 sin 2 ⁡ θ d θ

Mas dá uma olhada:

sin 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

Ai sim! Com essa relação trigonométrica a gente tira o “ao quadrado” e fica ainda mais tranquilo. Temos então:

∫ 2 sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ =   ∫ 1 d θ - ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

∫ 2 sin 2 ⁡ θ d θ = θ - ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Realizando a substituição simples

2 θ = u →   d θ = d u 2

∫ cos ⁡ u 2 d u = sin ⁡ u 2

Resumindo, temos que:

∫ 2 x 2 1 - x 2 d x = θ - sin ⁡ u 2 =   θ - sin ⁡ 2 θ 2

∫ 2 x 2 1 - x 2 d x =   θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Mas temos que voltar à variável original agora. Pra isso, só lembrar do que já fizemos, beleza? Então tínhamos:

x = sin ⁡ θ →   θ = arcsin ⁡ x

1 - x 2 = cos ⁡ θ

Mel na chupeta, só substituir agora:

∫ 2 x 2 1 - x 2 d x =   arcsin ⁡ x - x 1 - x 2

Resposta

∫ 2 x 2 1 - x 2 d x = arcsin ⁡ x - x 1 - x 2 + C  

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